立方体の切断、3つのきまり　切り口の線の引き方

立方体を3つの点（同じ直線の上にない3点）を通る平面で切ったとき、切り口はどんな形になるか。中学受験の算数で、よく出る問題です。

切り口の線は、思いつきで引くものではありません。次の3つのきまりを順に使えば、ふつうの問題なら線を引けます。

この記事では、立方体の頂点を次のように呼びます。上の面が手前の左から A・B・C・D、下の面が E・F・G・H で、A の真下が E です。

きまり1　同じ面の2点は結ぶ

切り口の線は、立方体の面の上に引かれます。1つの面の上に、切る平面が通る点が2つあれば、その2点を結んだ線が切り口の線です。

例：3点 A・C・F を通る平面で切ります。

• A と C は、上の面 ABCD にあるので結ぶ。
• C と F は、右の面 BFGC にあるので結ぶ。
• F と A は、手前の面 ABFE にあるので結ぶ。

3本の線は、どれも正方形の面の対角線です。長さがすべて等しいので、切り口は正三角形になります。

きまり2　向かい合う面の切り口は平行

立方体の向かい合う面（上と下、手前と奥、左と右）は平行です。平行な2つの面を1つの平面で切ると、2本の切り口の線は平行になります。

例：辺 AB の真ん中を M、辺 BC の真ん中を N とします。3点 M・N・G を通る平面で切ります。

1. M と N は上の面にあるので結ぶ（きまり1）。
2. N と G は右の面にあるので結ぶ（きまり1）。
3. 下の面には G しかありません。そこで、上の面の線 MN と平行な線を、G から下の面に引きます（きまり2）。この線は E に届きます。
4. E と M は手前の面にあるので結ぶ（きまり1）。

切り口は、MN と GE が平行な台形です。MN と GE の長さはちがいますが、NG と EM の長さは等しいので、等脚台形になります。

きまり3　辺をのばして交わる点を見つける

きまり1・2だけでは線が引けないこともあります。そのときは、すでに引いた切り口の線と、それと同じ面にある立方体の辺を、立方体の外までのばして、交わる点を見つけます。

例：辺 BC の真ん中を M、辺 CD の真ん中を N とします。3点 M・N と、頂点 E を通る平面で切ります。

上の面の M と N は結べます。でも、E は下の面の頂点で、M・N と同じ面にはありません。そこで、次のように考えます。

1. 線 MN を、立方体の外までのばします。
2. 辺 AB を B の先へのばした線と、MN をのばした線が交わる点を X とします。同じように、辺 AD を D の先へのばした線と交わる点を Y とします。
3. X は、手前の面 ABFE を広げた平面の上にあります。E も手前の面にあるので、X と E を結びます。この線が辺 BF と交わる点が、切り口の頂点です。
4. Y と E も同じように結び（左の面を広げた平面の上の線です）、辺 DH と交わる点を見つけます。

切り口は五角形になります。立方体の1辺を3等分すると、BF との交わる点は B から3分の1、DH との交わる点は D から3分の1のところです。

この五角形でも、きまり2が成り立っています。手前の面の線と奥の面の線、左の面の線と右の面の線は、それぞれ平行です。線を引き終わったら、向かい合う面の線が平行になっているかを確かめると、まちがいに気づけます。

解くときの順番

1. 同じ面にある2点を、すべて結ぶ（きまり1）。
2. 向かい合う面に、平行な線を引けないか考える（きまり2）。
3. それでも引けなければ、線や辺をのばして交わる点を見つける（きまり3）。
4. 最後に、向かい合う面の線が平行になっているかを確かめる。

切り口がどんな形になりうるかは、立方体の切り口になる形・ならない形の記事にまとめています。